讲一点点数学：定积分的意义

你开门见山地问道：定积分是什么呢？

我答道：不要着急，先让我讲个故事，再告诉你也不迟。

在很久很久以前，人们不会精确地去算曲线围成的面积，只是用各种巧妙的方法进行近似的估算。（大家不要认为前人没有微积分就估不出面积，数学源于智慧，智慧却不止步于数学）

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据说阿基米德早于牛顿和莱布尼兹研究出了积分，不过阿基米德的方法年代过于久远已无从考证，不知道那究竟是真是假了。

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阿基米德

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阿基米德螺线

后来牛顿和莱布尼兹发明了微积分，给出了这个公式，极大地简化了人们对曲边图形面积的估算。

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这公式啥意思呢？其实就是用来算围成曲边图形的面积的：

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接着，我立刻做个数学实验，你马上就明白怎么操作的了：

我们还是请出抛物线y=x^2来：

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如何求图中的蓝色阴影部分的面积呢？（注意，它是由x=2，x轴，和抛物线共同围成的）

我们带入上面那个公式：

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注意到：

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t和x是一个东西，只是换了个写法

我们要去寻找一个东西：究竟哪个函数求一下导是x^2呢？于是，我们翻出来微积分的书来查（或者上网去查），发现

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这里给大家分享一些微积分的基本公式，大家可以自己试着去积分一些简单曲边图形的面积：

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还有一种方法是原始的定义法，但是笔者并不建议初学者使用，虽然它蕴含着微积分的思想，但几乎无法在实际中算面积：

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把所有的小面积加起来，就是总的面积

这种算法非常复杂，大家有兴趣可以自己研究一下。

最后，我们说一说定积分的物理意义，实际上，积分在大自然中无处不在，我们就简单举两个例子吧：

一是物体速率，距离和时间的关系：

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变速运动怎么用定积分描述呢？

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二是电子器件的发热能量等于电流的平方乘以电阻，然后对时间进行积分：

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定积分的入门笔者就讲到这里了，感谢大家抽空阅读，笔者写作的意义就在于激发大家的探索欲望，而不是仅交给大家光秃秃的知识，与其授之以鱼，不如授之以渔~

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